SIFAT-SIFAT FUNGSI DETERMINAN

Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (A^t).

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika.

Pada bagian ini kita akan mengembangkan beberapa sifat-sifat dasar fungsi determinan. Apa yang kita lakukan disini akan memberi kita suatu wawasan yang lebih luas mengenai hubungan antara suatu suatu matriks bujur sangkar dan determinannya. Salah satu konsekuensi segera dari materi ini adalah suatu uji determinan untuk ada atau tidaknya invers suatu matriks.

1.      SIFAT-SIFAT DASAR DETERMINAN

Anggap A dan B adalah matriks n x n dan k adalah sebarang scalar. Kita mulai dangan mengkaji hubungan yang mungkin antara det(A), det(B),

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena semua factor umum dari setiap baris suatu matriks bisa dipindah melalui tanda setiap det, dan karena setiap n baris dalam KA mempunyai suatu factor umum  k, maka kita peroleh

misalnya,  

                    

Sayangnya, secara umum tidak ada hubungan sedrhana antar determinan – determinan det(A), det(B), dan det (A+B). secara khusus,kami menekankan bahwa det(A+B) biasanya tidak  sama dengan det(A) + det(B). contoh berikut ini mengilustrasikan fakta tersebut,

            Contoh 1 Tinjau

                              

Jawab :

det(A) + det(B) = 1 + 8 = 9

            det(A) = (1)(5) - (2)(2) = 5 – 4 = 1

            det(B) = (3)(3) - (1)(1) = 9 – 1 = 8

            det(A+B) = (4)(8) - (3)(3) = 32 – 9 = 23

            jadi det(A+B) ≠ det(A) + det(B).

SIFAT-SIFAT FUNGSI DETEREMINAN

	Teorema  4. Jika A adalah sembarang matiks kuadrat, maka det (A) =det (At).

 

Pernyataan. Karena hasil ini, maka hampir tiap-tiap teorema mengenai determinan yang mengandung perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila perkataan “kolom” disubstitusikan untuk “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos (memindahkan) matriks yang di tinjau untuk mengubah pernyataan kolom tersebut pada pernyataan baris, dan kemudian menerapkan hasil yang bersesuaian yang sudah kita ketahui untuk baris.

Contoh

Hitunglah determinan dari

Determinan ini dapat di hitung seperti sebelumunya dengan menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi A pada bentuk eelon baris. Sebaliknya, kita dapat menaruh A pada bentuk segitiga bawah dalam satu langkah dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat untuk mendapatkan

Contoh ini menunjukkan bahwa selalu merupakan hal yang bijaksana untuk memperhatikan operasi kolom yang tepat yang akan meringkaskan perhitungan tersebut.

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks n x n dan k adalah sebarang skalar. Kita karang meninjau hubungan yang mungkin di antara det(A), det(B), dan 

det(kA), det(A + B), dan det(AB)

karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan karena setiap baris n baris dalam kA mempunyai factor bersama sebesr k, maka kita dapatkan

det(kA) = kⁿ det(A)

	Teorema 5.  Misalkan A, A’, dan A” adalah matiks n x n yang hanya berbeda dalam garis tunggal, katakanlah baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A’. Maka det(A”) = det (A) + det (A’) Hasil yang serupa berlaku untuk kolom-kolom itu.

 

Contoh 

Dengan menghitung determinan, anda dapat memeriksa bahwa

Teorema 6.  Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A)det(B)

 

Contoh

Tinjaulah matriks-matriks                   

                       

Kita peroleh det(A) det(B) = (1) (-23) = -23. Sebaliknya dengan perhitungan langsung maka det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A) det(B).

	Teorema 7.  Sebuah matriks A kuadrat dapat di balik jika dan hanya jika det(A) ¹0

 

Contoh

Karena baris pertama dan baris ketiga dari

                                   

Sebanding, maka det(A) = 0, jadi A tidak dapat dibalik